会积分才能免费上网？

某学校食堂为学生提供免费的无线网络，网络的密码是这道定积分试题的答案取前10位数字。

这道题怎么做呢？

【分析】

这是道小题（在试卷上以选择题或填空题的形式出现，不要求写出完整解答过程，只要求写出答案），被积函数很复杂，而且积分区间关于 0 对称。

这就提醒我们，可能存在捷径，要先分析被积函数每一项的奇偶性，根据奇函数在关于 0 对称的区间上的定积分为 0 的性质，化简这个函数。显然，$y=x^3$ 是奇函数，因此，含有 $x^3$ 的项，定积分都是 0。

【解】

令原式为 $I$，则有

$$\begin{aligned} I&=\int_{-2}^2\left(x^3\cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\right)\sqrt{4-x^2}\text{d}x\\ &=\int_{-2}^2\left(x^3\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}\right)\text{d}x\\ &=\int_{-2}^2x^3\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}\text{d}x+\int_{-2}^2\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}\text{d}x \end{aligned}$$

注意到 $y=x^3$ 是奇函数，它在区间 $[-2,2]$ 上的定积分为 0，

所以 $\displaystyle \int_{-2}^2x^3\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}\text{d}x=0$ ，

于是 $\displaystyle I=\int_{-2}^2 \frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}\text{d}x$。

注意到被积函数 $\displaystyle y=\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2} \quad \left(x\in[-2,2]\right)$

恰好是椭圆 $\displaystyle C: \frac{x^2}{4}+y^2=1$ 的上半部分。

定积分 $I$ 的几何意义是椭圆上半部分与 $x$ 轴围成的图形的面积，

恰好是椭圆面积 $S_C$ 的一半，

所以有 $\displaystyle I=\frac{1}{2}S_C=\frac{1}{2}\pi{ab}=\frac{1}{2}\times\pi\times2\times1=\pi$。

答案是 $\pi$ ，所以，密码是 $\pi$ 的前 10 位数字：3141592653。

【对椭圆面积公式不熟悉也没关系】

我们得到 $\displaystyle I=\int_{-2}^2 \frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}\text{d}x=\frac{1}{2}\int_{-2}^2 \sqrt{4-x^2}\text{d}x$。

注意到被积函数 $\displaystyle y=\sqrt{4-x^2} \quad \left(x\in[-2,2]\right)$

恰好是圆 $\displaystyle C: x^2+y^2=4$ 的上半部分，$r=2$。

定积分 $\displaystyle \int_{-2}^2 \sqrt{4-x^2}\text{d}x$ 的几何意义是圆上半部分与 $x$ 轴围成的图形的面积，

恰好是圆面积 $S_C$ 的一半，即 $\displaystyle \frac{1}{2}\pi r^2=\frac{1}{2}\times\pi\times4=2\pi$,

所以有 $\displaystyle I=\frac{1}{2}\int_{-2}^2 \sqrt{4-x^2}\text{d}x=\frac{1}{2}\times2\pi=\pi$ 。

【点评】

这种解法体现了数形结合的思想。首先，注意到积分区间关于原点对称，根据奇函数在关于 0 对称的区间上的定积分为 0 的性质化简被积函数；其次，根据定积分的几何意义，把积分问题转化成椭圆或者圆的面积问题，避免了复杂计算。

【另一种解法】

我们也可以根据牛顿—莱布尼茨公式直接计算。

$$\begin{aligned} &\quad\ \int_{-2}^2\left(x^3\cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\right)\sqrt{4-x^2}\text{d}x\\ &=\int_{-2}^2\left(x^3\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}+\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}\right)\text{d}x\\ &=\int_{-2}^2x^3\cos\frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}\text{d}x+\int_{-2}^2\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}\text{d}x\\ &=0+\int_{-2}^2\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}\text{d}x \end{aligned}$$

令 $\displaystyle x=2 \sin t \text{，} t\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$，则有

$$\begin{aligned} &\quad\ \int_{-2}^2\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}\text{d}x\\ &=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} \sqrt{4-4\sin^2 t} \cdot 2\cos t \ \text{d}t\\ &=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 2 \cos^2 t\ \text{d}t\\ &=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(\cos 2t+1\right)\text{d}t\\ &=\frac{1}{2}\left(\sin 2t+2t \right)\bigg|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\\ &=\pi \end{aligned}$$

图片版权

头图：Image by Erika Varga from Pixabay