高斯积分的求解简明笔记

高斯积分是 +ex2dx\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\text{d}x

学过微积分的都知道,ex2dx\displaystyle \int e^{-x^2}\text{d}x 在初等函数范围内是不可积的。更何况高斯积分的积分上下界是 ++\infty-\infty。这就决定了我们无法用微积分基本定理去求解。

但是,有数学家给出了天才的解法。如果不是吃透了定积分的定义,再加上神来之笔的灵感,是想不出这个解法的。我等后人只有膜拜了。

【解析】

I=+ex2dx\displaystyle I = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\text{d}x

定积分是一个数,与被积函数的自变量无关,

所以,换一下元,有 I=+ey2dy\displaystyle I = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}\text{d}y

这样,凭空多出一个自变量 yy

二者相乘,得 I2=++e(x+y)2dxdy\displaystyle I^2 = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(x+y)^2}\text{d}x\text{d}y

二重积分可以用极坐标换元便于求解,

x2+y2=r2,dxdy=rdrdθ\displaystyle x^2+y^2=r^2, \text{d}x\text{d}y=r\text{d}r\text{d}\theta,其中 r[0,+),θ[0,2π]\displaystyle r\in\left[0,+\infty\right), \theta\in\left[0,2\pi\right]

I2=02π0+er2rdrdθ\displaystyle I^2 = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{+\infty}e^{-r^2}r\text{d}r\text{d}\theta

二重积分可以看做两个一元积分的乘法。既然被积函数没有 θ\theta 这个自变量,可以把它先分离出来,

所以有 I2=02πdθ0+er2rdr=2π0+er2rdr\displaystyle I^2 = \int_{0}^{2\pi}\text{d}\theta\int_{0}^{+\infty}e^{-r^2}r\text{d}r = 2\pi\int_{0}^{+\infty}e^{-r^2}r\text{d}r

被积函数多了一个 rr,就可以凑微分了,然后根据微积分基本定理求定积分,

I2=12×2π0+er2d(r2)=πer20+=π\displaystyle I^2 = -\frac{1}{2}\times 2\pi\int_{0}^{+\infty}e^{-r^2}\text{d}(-r^2) = -\pi\cdot e^{-r^2}\bigg|_0^{+\infty}=\pi

开方即得,I=π\displaystyle I=\sqrt{\pi}

为什么 dxdy = rdrdθ?

参考了这个知乎答案 https://www.zhihu.com/question/368888687/answer/1447917992

有一个假设是,同样是面积微元 dσ\text{d}\sigma,在直角坐标系和极坐标系下是一样大小的,只是计算方式不同。

直角坐标系:dσ=dxdy\displaystyle \text{d}\sigma=\text{d}x\text{d}y

极坐标系:

图也是原作者@半个冯博士 画的

dσ=SM2OM3SM1OM4=12(r+Δr)2Δθ12r2Δθ=12[r2+2rΔr+(Δr)2r2]Δθ=12[2rΔr+(Δr)2]Δθ\begin{aligned} \text{d}\sigma&=S_{扇M_2OM_3}-S_{扇M_1OM_4}\\&=\frac{1}{2}\left(r+\Delta r\right)^2\cdot\Delta\theta-\frac{1}{2}r^2\cdot\Delta\theta\\&=\frac{1}{2}\left[r^2+2r\Delta r+\left(\Delta r\right)^2-r^2\right]\Delta\theta\\&=\frac{1}{2}\left[2r\Delta r+\left(\Delta r\right)^2\right]\cdot\Delta\theta \end{aligned}

由于 dθΔθ\displaystyle \text{d}\theta\approx\Delta\theta(Δr)2\displaystyle \left(\Delta r\right)^22rΔr2r\Delta r 的高阶无穷小(可以忽略),drΔr\displaystyle \text{d}r\approx\Delta r

因此 dσ=12(2rΔr)Δθ=rdrdθ\displaystyle \text{d}\sigma=\frac{1}{2}\left(2r\Delta r\right)\cdot\Delta\theta=r\text{d}r\text{d}\theta

综上所述 dσ=dxdy=rdrdθ\displaystyle \text{d}\sigma=\text{d}x\text{d}y=r\text{d}r\text{d}\theta

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头图:Image by Erika Varga from Pixabay


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高斯积分的求解简明笔记
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作者
Kukmoon谷月
发布于
2021年11月11日
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