诸子聚会考数学
谷月姐见到一道特别有趣的数学题:诸子聚会算座次排法。花了一点功夫查询相关信息,把它解了出来。
【预备知识】
- 许行:农家。
- 慎到:道家、法家。
- 公孙龙:名家。
- 申不害:法家。
- 孔丘:儒家。
- 李耳:道家。
- 惠施:名家。
- 杨朱:道家。
- 墨翟:墨家。
【解析】
公孙龙和惠施都是名家,必须坐在一起,座次随意;李耳、杨朱是道家,申不害是法家,而慎到既是道家又是法家,这样,这四个人必须坐在一起,座次随意。
下面开始排座次。
从 9 个座位中取出 4 个连续的座位和另外 2 个连续的座位,穷举一下,有 4+3+3+3+3+4=20 种取法。
把四个连续的座位安排给李耳、杨朱、慎到、申不害四人,这四人的座次安排是一个全排列,因此有 4!=24 种排法。
把两个连续的座位安排给公孙龙和惠施两人,这两人的座次安排也是一个全排列,因此有 2!=2 种排法。
剩下三个座位,给三个人坐,这也是一个全排列,有 3!=6 种排法。
综上所述,根据乘法原理,共有 20×24×2×6=5760 种排法。
原题是选择题,如何把答案写成原题选项中用阶乘和连乘表达的写法?
我们需要稍微分解一下因数:原式=20×24×2×6=5×4×4!×2×6=6×5×4!×4×2=6!×2×2×2,与(B)选项一致。
当然,我们还可以进一步用指数代替连乘,写成更具有迷惑性的 6!×2³。
【进一步分析】
假如安排座次的条件更苛刻一点,比方说,让同时是道家和法家的慎到,把来自道家的李耳和杨朱两人与来自法家的申不害分隔开。那么,他们四个人坐在一起的座次只有4种:
- 李耳、杨朱、慎到、申不害;
- 杨朱、李耳、慎到、申不害;
- 申不害、慎到、李耳、杨朱;
- 申不害、慎到、杨朱、李耳。
所以,如果要这样安排座次,就要把上文中的24换成4,即总共有 20×4×2×6=960 种排法。
用与上文类似的方法,改写成阶乘和连乘混合的表达式,即 20×4×2×6=5×4×3×2×4×2=5!×2×2×2=5!×2³。
图片版权
头图:Image by Erika Varga from Pixabay
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诸子聚会考数学
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