让整体代换思想帮你解决数学疑难问题

让整体代换思想帮你解决数学疑难问题

整体代换思想是一种数学思想,它指的是,不要直接根据题给条件求解 xxyy 之类的未知数,而是把题给条件完完整整地,或者稍作变形后,代入待求问题,求得答案。

此处试举三例初中数学问题来阐释。

【例 1】(2020 天津中考)已知 x+y=69x+y=69,求 (x34)99+(y35)99=(x-34)^{99}+(y-35)^{99}= _____

【解析】此处如果用高中阶段的二项式定理展开会陷入无法合并化简的困境。

我们需要观察已知条件与待求问题的联系,注意到 34+35=69=x+y34+35=69=x+y,这样我们就把已知和待求联系到了一起,移项得 y35=34x=(x34)y-35=34-x=-(x-34)

所以待求式=(x34)99+[(x34)]99=(x34)99(x34)99=0=(x-34)^{99}+[-(x-34)]^{99}=(x-34)^{99}-(x-34)^{99}=0

【例 2】(美国初中奥赛)已知 x2+x+1=0x^2+x+1=0,求 x49+x50+x51+x52+x53=x^{49}+x^{50}+x^{51}+x^{52}+x^{53}= _____

【解析】显然 x2+x+1=0x^2+x+1=0 没有实数根,如果用求根公式求出复数根再代入待求式来运算,将会十分麻烦。

观察已知条件与待求问题之间的联系,注意到 x49+x50+x51=x49(x2+x+1)=0x^{49}+x^{50}+x^{51}=x^{49}(x^2+x+1)=0将题给条件完整代入),而 x52+x53=x52(1+x)=x52(x2)=x54x^{52}+x^{53}=x^{52}(1+x)=x^{52}\cdot(-x^2)=-x^{54}将题给条件变形后代入),所以待求式化简为 x54-x^{54}

再从已知条件入手,联想学过的数学知识,发现 x2+x+1x^2+x+1 与平方差公式有关联,而且显然 xx 不是实数,所以,x2+x+1=0(x1)(x2+x+1)=0 (x1)x3=1 (x1)x^2+x+1=0 ⇔ (x-1)(x^2+x+1)=0\ (x≠1) ⇔ x³=1\ (x≠1)。所以,待求式=x54=(x3)18=1=-x^{54}=-(x^3)^{18}=-1

【例 3】(2023 北京中考)若 x2y2=16x^2-y^2=16(x+y)2=8(x+y)^2=8,求 xyxy 的值。

【解析】已知条件是一个二元二次方程组,直接求解 xxyy 相当麻烦。分析一下已知条件和待求结果,发现把题给条件中的完全平方式展开一下就会出现 xyxy。展开得到 {x2y2=16...(1)x2+2xy+y2=8...(2)\left\{\begin{array}{l} x^2-y^2=16 &...(1) \\\\ x^2+2xy+y^2=8 &...(2) \end{array}\right.

尝试用加减消元法消去 x2x^2y2y^2,然后再提取公因式,我们找到了突破口。

(1)+(2)(1)+(2) 得, 2x2+2xy=24x(x+y)=12...(3)2x^2+2xy=24 \Rightarrow x(x+y)=12\quad ...(3)

(2)(1)(2)-(1) 得, 2y2+2xy=8y(x+y)=4...(4)2y^2+2xy=-8 \Rightarrow y(x+y)=-4 \quad ...(4)

应用整体代换思想,两式相乘就出现了 xyxy,然后把 (x+y)2=8(x+y)^2=8 代入,搞定。

(3)×(4)(3)\times(4) 得,xy(x+y)2=48xy(x+y)^2=-48,所以 xy=48(x+y)2=6xy=\dfrac{-48}{(x+y)^2}=-6

总结:当根据题给条件求解 xxyy 之类的未知数非常麻烦,或者计算量很大时,优先考虑整体代换思想寻找解题的捷径。


最后,举一个反套路的例子。命题人知道你懂整体代换思想,所以故意出了一道让你必须先把未知数计算出来的题,作为 520 的惊喜送给同学们…这就是数学老师的浪漫吧。

【反套路例题】(江苏丹阳中学高二月考)已知函数 f(x)=2.02×106+x+sinx+20200lg2lg52f(x)=\dfrac{2.02\times10^6+x+\sin x+2020^0-\lg 2-\lg 5}{2} 在区间 [520,520][-520,520] 最大值和最小值分别为 L, OL,\ Og(x)=20200+eln520+(1)3+x3+lg2021x2021+x2g(x)=\dfrac{2020^0+e^{\ln 520}+(-1)^3+x^3+\lg{\dfrac{2021-x}{2021+x}}}{2}[2020,2020][-2020,2020] 上的最大值和最小值分别为 V, EV,\ E,则 L+O+V+E=L+O+V+E= ____________。

【解析】

L+O+V+E=?

图片版权

题图:Pixabay

头图:Image by peritas from Pixabay


求扫码打赏
“我这么可爱,请给我钱 o(*^ω^*)o”

让整体代换思想帮你解决数学疑难问题
https://blog.kukmoon.com/326e03ab62ce/
作者
Kukmoon谷月
发布于
2023年10月13日
许可协议