本文最后更新于 2023-10-13T15:38:01+08:00
![让整体代换思想帮你解决数学疑难问题](https://img.kukmoon.com/maths-index-img.jpg)
整体代换思想是一种数学思想,它指的是,不要直接根据题给条件求解 x、y 之类的未知数,而是把题给条件完完整整地,或者稍作变形后,代入待求问题,求得答案。
此处试举三例初中数学问题来阐释。
【例 1】(2020 天津中考)已知 x+y=69,求 (x−34)99+(y−35)99= _____
【解析】此处如果用高中阶段的二项式定理展开会陷入无法合并化简的困境。
我们需要观察已知条件与待求问题的联系,注意到 34+35=69=x+y,这样我们就把已知和待求联系到了一起,移项得 y−35=34−x=−(x−34)。
所以待求式=(x−34)99+[−(x−34)]99=(x−34)99−(x−34)99=0。
【例 2】(美国初中奥赛)已知 x2+x+1=0,求 x49+x50+x51+x52+x53= _____
【解析】显然 x2+x+1=0 没有实数根,如果用求根公式求出复数根再代入待求式来运算,将会十分麻烦。
观察已知条件与待求问题之间的联系,注意到 x49+x50+x51=x49(x2+x+1)=0(将题给条件完整代入),而 x52+x53=x52(1+x)=x52⋅(−x2)=−x54(将题给条件变形后代入),所以待求式化简为 −x54。
再从已知条件入手,联想学过的数学知识,发现 x2+x+1 与平方差公式有关联,而且显然 x 不是实数,所以,x2+x+1=0⇔(x−1)(x2+x+1)=0 (x=1)⇔x3=1 (x=1)。所以,待求式=−x54=−(x3)18=−1。
【例 3】(2023 北京中考)若 x2−y2=16,(x+y)2=8,求 xy 的值。
【解析】已知条件是一个二元二次方程组,直接求解 x 和 y 相当麻烦。分析一下已知条件和待求结果,发现把题给条件中的完全平方式展开一下就会出现 xy。展开得到 ⎩⎨⎧x2−y2=16x2+2xy+y2=8...(1)...(2)。
尝试用加减消元法消去 x2 和 y2,然后再提取公因式,我们找到了突破口。
(1)+(2) 得, 2x2+2xy=24⇒x(x+y)=12...(3)。
(2)−(1) 得, 2y2+2xy=−8⇒y(x+y)=−4...(4)。
应用整体代换思想,两式相乘就出现了 xy,然后把 (x+y)2=8 代入,搞定。
(3)×(4) 得,xy(x+y)2=−48,所以 xy=(x+y)2−48=−6。
总结:当根据题给条件求解 x、y 之类的未知数非常麻烦,或者计算量很大时,优先考虑整体代换思想寻找解题的捷径。
最后,举一个反套路的例子。命题人知道你懂整体代换思想,所以故意出了一道让你必须先把未知数计算出来的题,作为 520 的惊喜送给同学们…这就是数学老师的浪漫吧。
【反套路例题】(江苏丹阳中学高二月考)已知函数 f(x)=22.02×106+x+sinx+20200−lg2−lg5 在区间 [−520,520] 最大值和最小值分别为 L, O,g(x)=220200+eln520+(−1)3+x3+lg2021+x2021−x 在 [−2020,2020] 上的最大值和最小值分别为 V, E,则 L+O+V+E= ____________。
【解析】
![L+O+V+E=?](https://img.kukmoon.com/2023-10-13-15-38-36.png)
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题图:Pixabay
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